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內(nèi)容提要 本書介紹實分析的基本理論.全書共分八章，內(nèi)容包括：集合與映射，拓撲空間，測度空間，積分，Riesz表示定理與Borel測度的正則性，Lp空間，賦范線性空間初步理論和Hilbert空間初步理論.本書在選材上注重少而精，集中反映實分析的核心內(nèi)容.在內(nèi)容的敘述上，注意由淺入深，循序漸進.本書語言通俗易懂，推理嚴謹清晰，便于教學和自學.書中各章配有例題和習題，可供讀者借鑒和練習.本書可作為大學數(shù)學專業(yè)碩士生一年級的教材，也可作為數(shù)學專業(yè)本科生高年級選修課教材.同時，也可供需要分析數(shù)學較多的理工科研究生和大學教師、科研工作者參考. 前言 由于分析的思想在數(shù)學和其他科學分支的廣泛應用，實分析普遍被選為數(shù)學專業(yè)碩士研究生一年級的必修課.所謂“實分析”是指近現(xiàn)代數(shù)學中那些根植于經(jīng)典數(shù)學分析和實變函數(shù)的部分.目前，實分析已發(fā)展為包含多個專題的現(xiàn)代分析理論.由于應用和偏好的不同，關于實分析的教材也呈現(xiàn)多種版本，不同形式.但是基本的內(nèi)容應包括：經(jīng)典的實變函數(shù)本身，一般測度空間及其上的可測函數(shù)，抽象積分，拓撲空間，拓撲與測度相結合所產(chǎn)生的理論，Lp空間，Hilbert空間和賦范線性空間等.由于實變函數(shù)已作為前期知識在本科階段學習過，故通常研究生的實分析教材不包括這一基礎部分.但是，在學習實分析的抽象理論時，我們會經(jīng)常聯(lián)系實變函數(shù)中相應的結果；由此說明實變函數(shù)理論是實分析理論的一個具體的經(jīng)典的例子，而實分析理論是實變函數(shù)理論的抽象化和一般化.那么，這種抽象化和一般化又有何意義呢？我們可通過它對其他學科的作用加以說明.比如，概率空間，它顯然不是實變函數(shù)中Rk上的Lebesgue測度空間，但它是我們實分析討論的測度空間的一種，即全空間測度為1的測度空間.其實，在高等概率論中，隨機事件就是概率空間中的可測集，其發(fā)生的概率就是測度，隨機變量就是一個可測函數(shù)，而其數(shù)學期望就是它的積分.又如，局部緊群上的Haar測度，拓撲測度論和拓撲動力系統(tǒng)等涉及的許多測度空間也常常不是Rk上的Lebesgue測度.所有這些內(nèi)容都是實變函數(shù)理論無法囊括的，而必須納入實分析的理論框架來研究.因而，從實變函數(shù)到實分析，并不是一個單純形式的推廣，而是具有豐富內(nèi)涵的開拓.在有了拓撲空間之后，自然就產(chǎn)生了連續(xù)函數(shù)空間、有界連續(xù)函數(shù)空間、具有緊支的連續(xù)函數(shù)空間及在無窮遠處為0的連續(xù)函數(shù)空間等；在有了測度空間之后，自然就產(chǎn)生了可測函數(shù)空間、有界可測函數(shù)空間、可積函數(shù)空間及p次可積函數(shù)空間等.這些空間通常都是無限維線性空間.這樣，引入線性泛函分析的知識，如賦范線性空間、Hilbert空間的基本理論，自然成為可能與必要.因而，通常實分析的教材也將這部分內(nèi)容包括在內(nèi). W.Rudin所著《實分析與復分析》一書是國內(nèi)外大學廣泛使用的數(shù)學專業(yè)研究生的基礎教材(以下，也稱該書為原著).這是一本不可多得的好書.學習并掌握該書的內(nèi)容，對于分析數(shù)學的理解將會登上一個新的臺階.多年來，我們一直采用該書的第1章到第5章作為教學的基本內(nèi)容.但是初學者直接閱讀該書，確實具有一定的困難.編者于1990年到2010年期間，曾擔任蘇州大學數(shù)學科學學院碩士研究生實分析課程的教學工作，深感需要根據(jù)實際情況，參照原著，編寫一本內(nèi)容深入淺出、通俗易懂而又理論嚴謹，且反映現(xiàn)代分析數(shù)學思想和成果的教材，以適應數(shù)學專業(yè)研究生教學的需要.本書就是一個嘗試.它根據(jù)編者20年來積累的講稿和心得整理、修訂、充實而成.全書共分為八章，分別是：集合與映射，拓撲空間，測度空間，積分，Riesz表示定理與Borel測度的正則性，Lp空間，賦范線性空間初步理論，Hilbert空間初步理論.比照原著，在內(nèi)容的選取和處理方面，本書作了如下一些嘗試. 一、
關于拓撲學知識的介紹.在原著中，拓撲學知識是分散在第1章和第2章各處出現(xiàn)的.這樣的安排有其特色，使學生對于拓撲學的認識和學習有一個逐步深入的過程.但缺點是理論不系統(tǒng)、不集中；在階段性給出的結論不全面、不深入.例如，在第1章講述連續(xù)映射時，由于未介紹閉集和網(wǎng)，故未能給出連續(xù)映射的閉集刻畫和網(wǎng)的刻畫.本書專列一章“拓撲空間”比較系統(tǒng)、全面地介紹拓撲學的重要基礎知識.這樣一方面，為以后各章節(jié)使用拓撲知識提供了豐富的“倉廩”；另一方面，拓撲學知識本身對于提高學生的抽象分析能力和數(shù)學修養(yǎng)也具有重要意義. 二、
關于Urysohn引理的處理.在實分析中，通常Urysohn引理的敘述是專為證明Riesz表示定理而設的，而Riesz表示定理涉及的是局部緊Hausdorff拓撲空間，故在那里，Urysohn引理是對局部緊Hausdorff拓撲空間而言的.但是，在一般拓撲學中，通常Urysohn引理是對正規(guī)空間而言的.原著文中敘述的Urysohn引理取第一種形式，而第2章習題中要求學生驗證度量空間滿足Urysohn引理時，又指第二種形式.歷屆學生每遇到此問題時，總感到困惑.本書給出Urysohn引理的一種推廣形式，它蘊涵上述兩種不同形式的Urysohn引理；進而說明：雖然這些引理的形式不同，但實質(zhì)是相似的，故而都名之曰“Urysohn引理”. 三、
由Riesz表示定理導出Rk上Lebesgue測度的講法.原著中，這部分內(nèi)容由于追求自封閉性，避免直接使用數(shù)學分析中的Riemann積分，而是另起爐灶，在Rk中引入“胞腔”、“單元”、映射序列“Λn”,并進而證明“Λn”具有極限映射“Λ”,此即定義于Cc(Rk)上的正線性泛函(注：Cc(Rk)指定義于Rk上具有緊支的連續(xù)函數(shù)空間).由于我們的學生對于這些術語并不熟悉，因而感到神秘而難懂，分散了學生的注意力，影響對于主線的理解.根據(jù)我們的學生對于Riemann積分的理解并無太大困難這樣的狀況，對于Rk上具有緊支的連續(xù)函數(shù)f，直接用Riemann積分來定義Λf:=∫Rkf(x)dx.這就獲得了Cc(Rk)上的正線性泛函：fΛf,f∈Cc(Rk).利用Riesz表示定理，由Λ可導出Rk上一個滿足諸多“好”的條件的完備的Borel測度(注：實分析書中的Borel測度不一定指Borel集族上的測度，而是指包含Borel集族的σ代數(shù)上的測度)，并證明這個完備的Borel測度即實變函數(shù)中Rk上的Lebesgue測度，同時也導出了Lebesgue積分.這樣處理簡明扼要，突出主線，較易為學生接受.其實，在編者執(zhí)教實分析課程的早期，由于當時課時比較充裕，上述構造Riemann積分過程是詳細講述的；這對于理解Riemann積分的實質(zhì)很有幫助.但其嚴格而完整的證明需要較長篇幅，建議作為課外講座或思考題. 四、
關于“賦范線性空間初步理論”的講述.本書注意滲透拓撲線性空間的思想方法，使證明抓住關鍵，揭示本質(zhì)，同時也便于以后將結論推廣到更廣一類的拓撲線性空間上去. 由于篇幅所限，還有一些重要內(nèi)容未能收入本書中，如復測度(包括RadonNikodym定理及Lp(μ)上有界線性泛函的表示定理)、乘積空間上的積分(包括乘積測度及Fubini定理)等.故本書只能稱為實分析的基礎或引論.應當指出，本書許多內(nèi)容取自Rudin的原著，當然，經(jīng)過重新編排和改寫.此外，編者還參考了國內(nèi)外大量實分析、實變函數(shù)和泛函分析的教材、習題集和專著.本書的末尾只能列出其中一部分參考文獻. 閱讀本書僅需數(shù)學分析知識和實變函數(shù)的基礎知識(例如見：張建平，丘京輝編，實變函數(shù)(第二版)，東南大學出版社，2014年).全書各重要內(nèi)容的編排按三個系列進行.以命題、引理、定理、推論為一個系列，編為：名稱(章).(節(jié)).(序號).例如，第7章第2節(jié)的相關結論可編為：定理7.2.1、推論7.2.2、定理7.2.3、命題7.2.4等.以定義為一個系列，編為：定義(章).(節(jié)).(序號).例如，定義7.1.1指第7章第1節(jié)中第一個定義.以例為一個系列，編為：例(章).(節(jié)).(序號).例如，例7.3.1指第7章第3節(jié)中第一個例.此外，每章后都附有習題，供讀者練習. 編者衷心感謝蘇州大學數(shù)學科學學院有關領導和同事及蘇州大學研究生院有關領導和同志；由于他們的推薦和支持，使編者獲得“蘇州大學研究生精品課程建設項目——實分析”的資助.本書也是該建設項目產(chǎn)生的成果之一.編者還要誠摯感謝20年來歷屆研究生的支持和配合.我們師生同學，教學相長，留下了美好難忘的記憶.東南大學出版社的張燁、史靜編輯為本書出版付出了辛勤的勞動，編者一并在此表示誠摯的感謝！ 由于編者水平所限，錯誤和不妥之處在所難免，希望廣大師生、讀者和同行不吝指教. 編者于2016年3月 目錄 1集合與映射1 1.1集合及其運算1 1.2映射4 1.3關系,偏序與等價5 1.4對等與基數(shù)6 1.5可數(shù)集9 1.6連續(xù)基數(shù)(或稱連續(xù)統(tǒng)勢)122拓撲空間17 2.1拓撲空間的概念17 2.2鄰域及相關概念20 2.3網(wǎng)22 2.4連續(xù)映射24 2.5緊空間與局部緊空間30 2.6推廣的Urysohn引理36 2.7緊空間的積,Tychonoff定理413測度空間45 3.1可測空間與可測映射45 3.2廣義實數(shù)的運算,上極限與下極限53 3.3測度空間56 3.4按測度收斂與幾乎處處收斂634積分68 4.1正函數(shù)的積分68 4.2復函數(shù)的積分80 4.3零測集所起的作用875Riesz表示定理與Borel測度的正則性97 5.1線性空間,線性映射與線性泛函97 5.2Riesz表示定理99 5.3Borel測度的正則性108 5.4由Riesz表示定理導出Rn上Lebesgue測度111 5.5可測函數(shù)的連續(xù)性1156Lp空間121 6.1凸函數(shù)與不等式121 6.2Lp空間126 6.3連續(xù)函數(shù)逼近1357賦范線性空間初步理論141 7.1賦范線性空間的基本概念141 7.2Baire綱定理,共鳴定理,開映射與閉圖定理145 7.3HahnBanach延拓定理1538Hilbert空間初步理論164 8.1內(nèi)積空間與Hilbert空間的基本概念164 8.2最小范數(shù)定理與正交分解定理167 8.3規(guī)范正交集172 8.4L2［0,2π］的規(guī)范正交基181 參考文獻188 符號集190 索引192 |
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